期权定价

看涨期权到期时，股价高于行权价就拿到差额，否则一文不值。这一章用三种算法给它定价：一步二叉树、Black-Scholes 公式、蒙特卡洛。三种假设不同，价格不必相等。

学完后，应能对同一道题写出三个价格，并说明涨跌幅度、波动率和随机种子各是多少。例子见 examples/fintech/options.py。标准正态分布用 math.erf 计算，不另装库。

一步二叉树

现在股价 S = 100。这一期结束后只有两种可能：乘 u = 1.1 变成 110，或乘 d = 0.9 变成 90。这一期的无风险利率 r = 0.02。行权价 K = 100。

到期收益：

110 时：max(110 - 100, 0) = 10
90 时：max(90 - 100, 0) = 0

风险中性概率不是「真实涨跌概率」。它由无风险利率和涨跌幅度决定，用来折现：

q = ((1 + r) - d) / (u - d)

这里 q = (1.02 - 0.9) / (1.1 - 0.9) = 0.6。

期权现在的价格：

C = (q * 10 + (1 - q) * 0) / (1 + r)

结果是 5.8824。

q 必须落在 0 和 1 之间，否则这个涨跌幅度和无风险利率配不到一起。多步二叉树是把这一步重复好几期，入门先把一步算平。

股价被看成连续变动。输入是现价 S、行权价 K、到期时间 T（按年）、连续复利的无风险利率 r、波动率 sigma。

d1 = (ln(S / K) + (r + sigma² / 2) * T) / (sigma * sqrt(T))
d2 = d1 - sigma * sqrt(T)
C = S * N(d1) - K * exp(-r * T) * N(d2)

N 是标准正态分布的累积函数。S = 100，K = 100，T = 1，r = 0.02，sigma = 0.20 时，看涨期权价格是 8.9160。

它和二叉树的 5.8824 不是同一道题：二叉树只有一期、涨跌是写死的 10%，Black-Scholes 是一年里连续波动、波动率 20%。作业里把两组假设写在价格旁边。

在 Black-Scholes 的同一套假设下，直接模拟到期股价，再把看涨收益折现。

ST = S * exp((r - sigma² / 2) * T + sigma * sqrt(T) * Z)

Z 是标准正态随机数。到期收益是 max(ST - K, 0)，现在的价格是这些收益的平均数再乘 exp(-r * T)。

20000 条路径、随机种子 7，得到 8.7589。它靠近公式的 8.9160，路径再加，会更靠近。种子固定，报告才能复现。

收益分布与风险价值里的路径用的是历史样本的均值和标准差。这里的漂移项是无风险利率 r，因为定价时用的是风险中性假设，不是「股票历史平均涨了多少」。